Вход



Поиск по сайту
Google на mf.grsu.by

  
Главная страница >> Кафедры >> Математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры >> Научная работа >> Выпускники аспирантуры >> Программа-минимум кандитатского экзамена

ПРОГРАММА-МИНИМУМ
кандидатского экзамена по специальности
01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
(физико-математические науки)

I. Пояснительная записка

Цель данной программы состоит в определении минимального объема теоретических сведений, необходимого для овладения основами современной теории дифференциальных уравнений и приобретения профессиональной эрудиции, достаточной для проведения самостоятельных научных исследований по профилю специальности.

Для достижения этой цели в программу включены основные факты теории дифференциальных уравнений, а также ряда разделов смежных математических дисциплин.

Экзаменуемый должен владеть основами общей, асимптотической, аналитической и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, иметь представление о теории уравнений Пфаффа, и уравнений с запаздывающим аргументом и теории динамических систем, знать основные факты теории простейших уравнений в частных производных. Кроме того, он должен владеть необходимыми для этого элементами функционального анализа, вариационного исчисления и теории оптимального управления.

II. Содержание программы

Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы

1. Теорема существования и единственности решения задачи Кош и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров.
3. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями.
4. Общая теория линейных уравнений и систем: область существования решения, многообразие решений, фундаментальная матрица, матрица Коши, формула Лиувилля - Остроградского, метод вариации произвольных постоянных.
5. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия, предельные циклы. Классификация особых точек.
6. Характеристические показатели Ляпунова. Спектр характеристических показателей линейной однородной системы. Теория Флоке.
7. Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.
8. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка, метод характеристик.
9. Вполне интегрируемые системы с многомерной независимой переменной (системы Пфаффа). Задача Коши. Условия полной разрешимости. Линейные уравнения.
10. Уравнение с отклоняющимся аргументом, основные типы и простейшие свойства.
11. Общее понятие динамической системы. Примеры динамических систем.
12. Динамические системы вход-состояние-выход.
13. Управляемость и наблюдаемость линейных динамических систем.

Элементы функционального анализа, вариационного исчисления и теории оптимального управления

1. Задачи вариационного исчисления. Функция Лагранжа (лагранжиан). Необходимые условия экстремума. Уравнения Эйлера-Лагранжа.
2. Задачи оптимального управления. Понятие о принципе максимума.
3. Метод динамического программирования.
4. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода. Метод последовательных приближений. Теоремы Фредгольма.
5. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром; теорема Гильберта-Шмидта.
6. Обобщенные функции и их свойства. Свертка обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста; преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста.

Уравнения в частных производных


1. Уравнения в частных производных типа Ковалевской. Аналитические решения. Теорема Ковалевской.
2. Классификация и канонические формы линейных уравнений в частных производных второго порядка на плоскости. Характеристики уравнений. Задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи. Понятие о некорректных задачах для уравнений в частных производных.
3. Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций: формула Грина, теорема о среднем, принцип максимума, теорема об устранимой особенности.
4. Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом потенциалов. Применение функции Грина к решению задачи Дирихле. Формула Пуассона для шара и круга.
5. Уравнение теплопроводности. Задача Коши и смешанные задачи для уравнения теплопроводности. Свойства решений: гладкость, принцип максимума, единственность, бесконечная скорость теплопередачи. Фундаментальное решение.
6. Метод Фурье (разделения переменных) решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Обоснование метода Фурье.
7. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.
8. Уравнения гиперболического типа. Постановка основных краевых задач. Интеграл энергии, единственность решений. Конечная гладкость решений волнового уравнения. Фундаментальное решение.
9. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом Фурье. Обоснование метода Фурье.
10. Решение задачи Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона, Кирхгофа. Распространение волн в пространстве, на плоскости и на прямой.
11. Понятие об обобщенных и слабых решениях уравнений в частных производных.

III. Литература

1. Айнс, Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айнс. – Харьков: ГНТИУ, 1939. – 720 с.
2. Андреев, А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений / А.Ф. Андреев. – Мн.: Выш. шк., 1979. – 136 с.
3. Андронов, А.А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон. – М.: Наука, 1966. – 568с.
4. Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования систем уравнения / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. – 3-е издание. – М.: Высшая шк., 2003, – 614с.
5. Баутин, Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. // Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. – М.: Наука, 1976. – 496 с.
6. Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. – М.: Наука, 1975. – 568 с.
7. Голубев, В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев. – М.: ГИТТЛ, 1950. – 436 с.
8. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. – М: Наука, 1967. – 472 с.
9. Еругин, Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин. –Мн.: Наука и техника, 1979. – 744с.
10. Еругин, Н.П. Проблема Римана / Н.П. Еругин. - Минск: Наука и техника, 1982. – 336 с.
11. Зубов, В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. – М: Наука. – 1975. – 496 с.
12. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, Л. Фалб, М. Арбиб. – М.: Мир, 1971. – 400 с.
13. Ковригин, А.Б. Математический анализ динамических систем / А.Б. Ковригин. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. – 156 с.
14. Кудряшов, Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Н.А. Кудряшов. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 360 с.
15. Мартынов, И.П. Аналитическая теория нелинейных уравнений и систем: пособие / И.П. Мартынов, Н.С. Березкина, В.А. Пронько. – Гродно: ГрГУ, 2009. – 395 с.
16. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. – Мн.: Выш. шк., 1974. –768 с.
17. Неймарк, Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы / Ю.И. Неймарк. – М.: Наука, 1978. – 338 с.
18. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. – М.: Л.: ГИТТЛ, 1949. – 550с.
19. Нитецки, З. Введение в дифференциальную динамику / З. Нитецки. – М.: Мир, 1975. – 304 с.
20. Пилюгин, С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений / С.Ю. Пилюгин. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. – 160 с.
21. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе. – М.: Наука, 1976. – 392 с.
22. Пых, Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики / Ю.А. Пых. – М.: Наука, 1983. – 182 с.
23. Тамура, И. Топология слоений / И. Тамура. - М.: Мир, 1979. – 317 с.
24. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
25. Хирш, М. Дифференциальная топология / М. Хирш. – М.: Мир, 1979. – 280 c.

  
За содержание страницы отвечает Кирей Л.А.
©
Кафедра СПиКБ, 2002-2017