Вход



Поиск по сайту
Google на mf.grsu.by

  
Главная страница >> Кафедры >> Математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры >> Научная работа >> Выпускники аспирантуры >> Программа вступительного экзамена

Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Вступительный экзамен в аспирантуру ориентирован на выявление у поступающих общепрофессиональных и специальных знаний и умений. Экзамен состоит из двух частей: общая часть и специальная.

От экзаменуемых требуется знание и свободное владение материалом, предусмотренным общей частью настоящей программы. Специальная часть предусматривает знание основных и специальных курсов по избранной специальности и изложение представленного реферата.

СОДЕРЖАНИЕ

I. Общая часть

1. Непрерывность функций одной и многих переменных, свойства непрерывных функций. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные условия дифференцируемости. Градиент.
2. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.
3. Понятие метрического пространства, полные метрические пространства, компактность. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости Коши.
4. Функции с ограниченным измерением. Мера в смысле Лебега. Теорема Егорова Д.Ф., С-свойства. Абсолютная непрерывная функция.
5. Суммируемые функции. Интеграл Лебега и его основные свойства. Гильбертовы пространства. Изоморфизм. Сходимость в среднем.
6. Ортогональные системы функций. Неравенство Бесселя, условие полноты. Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье.
7. Линейные пространства, их подпространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капели.
8. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции.
9. Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задание матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения, связь последних с характеристическими корнями. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме.
10. Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Ортогональные и самосопряженные преобразования; приведение квадратичной формы к главным осям.
11. Аффинная и метрическая классификация кривых и поверхностей 2-го порядка. Проективная классификация линий второго порядка.
12. Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Фактор-группа. Теорема о гомоморфизмах.
13. Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Их классификация. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Задача Коши для уравнения струны. Первая краевая задача и задача Коши для уравнения теплопроводности.
14. Функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
15. Элементарные функции комплексного переменного и задаваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции. Дробно-линейные преобразования.
16. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение.
17. Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты.
18. Аналитическая функция в целом. Римановы поверхности.
19. Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций. Криволинейные координаты на многообразии.
20. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линий на поверхности. Теорема Менье. Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Главные направления и направления кривизны. Формула Эйлера. Гауссова кривизна поверхности.
21. Понятие топологического пространства. Понятие топологического и гладкого многообразия. Основы римановой геометрии и тензорного анализа (аффинная связность, ковариантное дифференцирование, тензор кривизны).
22. Понятие о простейшей проблеме вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Геодезические линии.
23. Дифференциальные формы на многообразии. Общая теорема Стокса. Следствия для векторных полей в трехмерном пространстве. Дивергенция. Вихрь.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

I. ВВЕДЕНИЕ

1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
2. Некоторые элементарные методы интегрирования.
3. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной.
4. Теорема существования и единственности для одного уравнения.
5. Теорема существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений.
6. Непродолжимые решения.
7. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и параметров.
8. Дифференцируемость решений по начальным значениям и параметрам.
9. Первые интегралы.

II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Некоторые свойства линейных дифференциальных уравнений.
2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней).
3. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней).
4. Устойчивые многочлены.
5. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
6. Метод исключения.
7. Нормальная линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Нормальная система линейных уравнений.
2. Линейное уравнение n-го порядка.
3. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами.

IV. УСТОЙЧИВОСТЬ. УПРАВЛЯЕМОСТЬ

1. Устойчивость. Критерии устойчивости стационарных линейных систем.
2. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы Четаева и Барбашина-Красовского.
3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
4. Линейные системы управления. Критерий управляемости линейных стационарных систем. Управляемость линейных нестационарных систем с гладкими параметрами, управляемость линейных нестационарных систем с периодическими коэффициентами.
5. Наблюдаемость. Условия наблюдаемости линейных систем.

V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Существование решений дифференциальных уравнений.
2. Метод малого параметра.
3. Уравнения первого порядка без подвижных критических особых точек.
4. Полиномиальные уравнения второго порядка без подвижных критических особых точек.
5. Полиномиальные уравнения третьего порядка без подвижных критических особых точек.

VI. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

1. Динамические системы как группа преобразований фазового пространства.
2. Потоки, каскады и слоения.
3. Системы, интегрируемые в замкнутой форме.
4. Диагональные и треугольные системы.
5. Системы Лаппо-Данилевского.
6. Приводимые системы.

ЛИТEPAТУPA

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968. – 911 с.
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1971. – 271 с.
3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971. – 271 с.
4. Колмагоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968. – 496 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 2 Т.– М.: Высш.шк. Т.1. – 1998, – 397 с.; Т.2. – 420 с.
6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – Б.М.И., 1975. – 428 с.
7. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. – 400 с.
8. Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций. – М.: Просвещение, 1958. – 320 с.
9. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1990. – 558 с.
10. Новиков С.П. Дифференциальная геометрия.
11. Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1984. – 295 с
12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. –М.-Л.:Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950. – 330 с.
13. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1982. – 331 с.
14. Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия.
15. Рашевский П.К. Введение в риманову геометрию, тензорный анализ. – М.: Наука, 1964. – 664 с.
16. Рудин У. Основы математического анализа. – М.: Мир, 1976. – 319 с.
17. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ.
18. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. – М.: Гостехиздат, 1956. – 303 с.
19. Еругин Н.П. Проблема Римана. – Мн.: Наука и техника, 1982. – 336 с.
20. Громак В.И., Лукашевич Н.А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. – Мн.: Университетское, 1990. – 158 с.
21. Бярозкіна Н.С., Мартынаў І.П., Пронька В.А., Яблонскі А.У. Сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў у камплекным абсягу. – Гродна: ГрДУ, 1999. – 312 с.
22. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 360 с.
23. Натансон И.П. Теория функций вещественных переменных. – С.-Пб.: Лань, 1999. – 560 с.
24. Чешкова М.А. Дифференциальная геометрия. – Барнаул: АГУ, 1994. – 161 с.
25. Алешков Ю.З. Теория функций комплексного переменного и ее приложения. Уч. Пособие. – Л.: изд-вл ЛГУ, 1986. – 246 с.
26. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. - М.: Наука, 1978.
27. Андронов А.А. и др. Качественная теория динамических систем второго порядка. - М.: Наука, 1966.
28. Хирш М. Дифференциальная топология. - М.: Мир, 1979.
29. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970.

  
За содержание страницы отвечает Кирей Л.А.
©
Кафедра СПиКБ, 2002-2017