Задача 29.
Полином N-ой степени
задается своими коэффициентами a[i]. Найти коэффициенты b[i],i=0,...,n*m, m-ой степени полинома A(x). Числа n,m<=40.
|
Решение задачи 29.
Продемонстрируем метод нахождения коэффициентов полинома на примере возведения p(x)=(x2+2*x+1) в четвертую степень.
Будем последовательно возводить полином в степени 2, 3,4.
Для второй степени справедливо равенство p(x)*p(x)=(x2+2x+1)*(x2+2x+1)=(x2+2x+1)*x2+ +(x2+2x+1)*2x+(x2+2x+1)*1
Будем складывать коэффициенты у одинаковых степеней x, выписывая коэффициенты полинома первой степени с соответствующим сдвигом и умножаем на коэффициент:
x4
x3
x2
x1
x0
1
2
1
x2+2x+1
2
4
2
(x2+2x+1)*2x
1
2
1
(x2+2x+1)*x2
1
4
6
4
1
Получили коэффициенты второй степени полинома. Для третьей степени, поступая аналогично, получаем такую таблицу:
X6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
1
4
6
4
1
p(x)*p(x)
2
8
12
8
2
2x*p(x)*p(x)
1
4
6
4
1
x2*p(x)*p(x)
1
6
15
20
15
6
1
Коэффициенты 4-ой степени:
x8
x7
x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
1
6
15
20
15
6
1
2
12
30
40
30
12
2
1
6
15
20
15
6
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
С произвольным полиномом поступаем так же: последователь-но находим степени 2,3, ..., m. Когда мы знаем коэффициенты полинома в степени i, то вычисляем коэффициенты степени i+1,
выписывая со сдвигом коэффициенты полинома степени i, умноженные на соответствующие коэффициенты исходного полинома, а затем складываем их в столбик.
|
