Решение задачи 10.
Монеты лежат на N+M позициях. Пронумеруем эти позиции по порядку по контуру от 1 до N+M.
Заведем массив A из N+M ячеек. Первоначально все ячейки нулевые. Начиная счет от первой ячейки, будем делать ход - отсчитывать S ячеек (считаем, что за N+M-ым элементом следует непосредственно 1-ый элемент массива) и заменять в этой ячейке число i на число 1-i (т.е. 0 на 1, а 1 на 0). После k-того хода остановимся.
Рассмотрим возникшую ситуацию. После каждого хода переворачивается одна монета, при этом разность количества монет, лежащих гербами вверх и количества монет, лежащих гербами вниз либо увеличивается, либо уменьшается на 2. Например, если переворачивается монета, лежащая гербом вверх, то при этом увеличивается на 1 количество монет гербом вниз и уменьшается на 1 количество монет гербом вверх.
Предположим, что после k ходов в массиве A стало p единиц т.е. p монет, по сравнению с начальным положением, будут перевернуты после k-ого хода.
В случае, если L>=N, то (L-N) монет, которые лежали гербами вниз, должны после k-ого хода быть перевернуты гербами вверх. (Если p<(L-N), то это, очевидно, невозможно сделать). Среди оставшихся p-(L-N) перевернутых монет должна быть половина гербами вверх и половина - вниз, чтобы при перевороте суммарное число монет гербами вверх и вниз не изменилось. Следовательно, число p-(L-N) должно быть четным, иначе условию задачи удовлетворить нельзя. Пусть p-(L-N) = 2v. Должно быть, очевидно, v<=N, v+(L-N)<=M.
Итак, в случае L>=N, если не выполняется хотя бы одно из неравенств
p-(L-N)=2v>=0,
v<=N,
v+(L-N)<=M,
то преобразование начальной конфигурации в конечнуюневозможно.
Иначе на (L-N) мест, помеченных в массиве A единицами, выставляем монеты гербами вниз. На оставшиеся 2v=p-(L-N) помеченных единицами позиций кладем v монет гербами вниз и v гербами вверх в произвольном порядке. На остальные позиции кладем оставшиеся монеты опять же в произвольном порядке, чтобы в общей сложности было N монет гербами вверх и M - гербами вниз.
Но мы еще не учли тот факт, что счет начинается с первой монеты гербом вверх:
а) Если в массиве A первый элемент нулевой, то в случае, если среди (N+M)-p монет есть хоть одна гербом вверх (что эквивалентно выполнению условия N-v>0), то ее и кладем в первую позицию. Если все (N+M)-p монеты - гербом вниз (т.е. N-v=0), то размещение монет невозможно.
б) Если же A[1]=1, то среди p монет должна быть по крайней мере одна, которую необходимо положить гербом вверх, иначе, опять же, размещение невозможно.
Случай N-L>0 разбирается аналогично.
|
