Задача 4.
Отрезок на плоскости задается двумя не совпадающими концевыми точками X(x1,x2) и Y(y1,y2). Из точки Z(z1,z2) к прямой, содержащей отрезок [X,Y], проводится перпендикуляр P.
Определить, попадает ли перпендикуляр P на отрезок [X,Y] или на его продолжение.
|
Решение задачи 4.
Пусть a,b и c - длины отрезков XY, YZ и ZX соответственно. Если перпендикуляр P попадает на отрезок XY, то углы XYZ и YXZ по величине не превосходят 90 градусов (эти оба угла не тупые).
По теореме косинусов
B2 = A2 + C2 - 2*A*C*cos YXZ
и
C2 = A2 + B2 - 2*A*B*cos XYZ
Если углы XYZ и YXZ не тупые, то cos YXZ и cos XYZ лежат в пределах от 0 до 1, и слaгаемые -2*B*C*cos YXZ и -2*A*B*cos XYZ в приведенных выше формулах неположительны, т.е. в случае, когда перпендикуляр попадает на отрезок XY, должны выполняться одновременно два неравенства
B2 <= A2 + C2
и
C2 <= A2 + B2,
Если хотя бы одно неравенство нарушается, то перпендикуляр попадает на продолжение отрезка . Примечание :
Квадрат длины отрезка, например, XY, можно найти по формуле
A = (x1-y1)2 + (x2-y2)2
|
